Золотое сечение получается при. Что такое золотое сечение? Как получили золотое сечение

Вырезав квадрат со стороной а из прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же свойством

Золото́е сече́ние (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление, число Фидия) — деление непрерывной величины на части в таком отношении, при котором большая часть так относится к меньшей, как вся величина к большей. Например, деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т. е. |АВ | / |ВС | = |АС | / |АВ |).

Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой ϕ (встречается также обозначение τ). Она равна:

Формула «золотых гармоний», дающая пары чисел удовлетворяющие вышеупомянутой пропорции:

В случае с числом параметр m = 1.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος ) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок . 300 до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

C ам термин «золотое сечение» (нем. goldener Schnitt ) был введён немецким математиком Мартином Омом в 1835 году.

Математические свойства

Золотое сечение в пятиконечной звезде

— иррациональное алгебраическое число, положительное решение любого из следующих уравнений

представляется цепной дробью

для которой подходящими дробями являются отношения последовательных чисел Фибоначчи . Таким образом, .

В правильной пятиконечной звезде каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (то есть отношение синего отрезка к зелёному, также как красного к синему, также как зелёного к фиолетовому, равны ).

Построение золотого сечения

Вот ещё одно представление:

Геометрическое построение

Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливается перпендикуляр к AB , откладывают на нём отрезок BC , равный половине AB , на отрезке AC откладывают отрезок AD , равный AC − CB , и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE , равный AD . Тогда

Золотое сечение и гармония

Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании. Архитектор Ле Корбюзье «нашёл», что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса , пропорции фигур соответствуют величинам золотого сечения. Зодчий Хесира , изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

"Золотое сечение" в искусстве

Золотое сечение и зрительные центры

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения».

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм Броненосец Потёмкин по правилам «золотого сечения». Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что, так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Другим примером использования правила «Золотого сечения» в киноискусстве — расположение основных компонентов кадра в особых точках — «зрительных центрах». Часто используются четыре точки, расположенные на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краёв плоскости.

Следует заметить что в вышеописанных примерах фигурировало приблизительное значение "золотого сечения": легко убедиться что ни 3/2 ни 5/3 не равно значению золотого сечения.

Российский зодчий Жолтовский также использовал золотое сечение.

Критика золотого сечения

Есть мнения, что значимость золотого сечения в искусстве, архитектуре и в природе преувеличена и основывается на ошибочных расчётах.

При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2 : 3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми».

Говорят, что “божественная пропорция” заложена в природе, и во многих вещах вокруг нас. Вы можете найти ее в цветах, ульях, морских раковинах, и даже нашем теле.

Эта божественная пропорция, также известная как золотое сечение, божественное сечение, или золотая пропорция может быть применена к различным видам искусства и обучения. Ученые утверждают, что чем ближе объект к золотому сечению, тем лучше человеческий мозг воспринимает его.

С тех пор как это соотношение было открыто, многие художники и архитекторы применяли его в своих работах. Вы можете найти золотое сечение в нескольких шедеврах эпохи Возрождения, архитектуре, живописи, и многом другом. В результате - красивый и эстетически приятный шедевр.

Немногие знают, в чем заключается тайна золотого сечения, что так радует наши глаза. Многие полагают, что то, что она появляется везде и является “универсальной” пропорцией, заставляет нас принять ее как что-то логическое, гармоничное и органичное. Другими словами, оно просто “чувствует” то, что нам нужно.

Итак, что такое золотое сечение?

Золотое сечение, также известное как “фи” по-гречески, это математическая константа. Оно может быть выражено уравнением a/b=a+b/a=1,618033987, где a больше, чем b. Это также можно объяснить последовательностью Фибоначчи, другой божественной пропорцией. Последовательность Фибоначчи начинается с 1 (некоторые говорят с 0) и добавляет к нему предыдущее число, чтобы получить последующее (т.е. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …)

Если вы попытаетесь найти частное от деления двух последующих чисел Фибоначчи (т.е. 8/5 или 5/3), результат очень близок к золотому сечению 1,6 или φ (фи).

Золотая спираль создается с помощью золотого прямоугольника. Если у вас есть прямоугольник из квадратов 1, 1, 2, 3, 5 и 8 соответственно, как показано на рисунке выше, вы можете приступить к строительству золотого прямоугольника. Используя сторону квадрата, как радиус, вы создаете дугу, которая касается точек квадрата по диагонали. Повторите эту процедуру с каждым квадратом в золотом треугольнике, и в конечном итоге вы получите золотую спираль.

Где мы можем увидеть его в природе

Золотое сечение и последовательность Фибоначчи можно найти в лепестках цветов. У большинства цветков количество лепестков сводится к двум, трем, пяти или больше, что походит на золотое сечение. Например, у лилий 3 лепестка, у лютиков 5, у цветков цикория 21, а у ромашек 34. Вероятно, семена цветков также следуют золотому сечению. Например, семена подсолнечника прорастают из центра и растут к внешней стороне, заполняя головку семени. Обычно они спиралевидные и имеют сходство с золотой спиралью. Более того, количество семян, как правило, сводится к числам Фибоначчи.

Руки и пальцы также являются примером золотого сечения. Посмотрите ближе! Основание ладони и кончик пальца разделен частями (костьми). Соотношение одной части в сравнении к другой всегда 1,618! Даже предплечья с руками находятся в таком же соотношении. И пальцы, и лицо, и можно продолжать список…

Применение в искусстве и архитектуре

Парфенон в Греции, как утверждается, был построен с использованием золотых пропорций. Считается, что размерные соотношения высоты, ширины, колонн, расстояния между столбами, и даже размер портика близки к золотому сечению. Это возможно потому, что здание выглядит пропорционально идеально, и оно было таким с древних времен.

Леонардо Да Винчи был также поклонником золотого сечения (и многих других любопытных предметов, собственно говоря!). Дивная красота Мона Лизы может быть связана с тем, что ее лицо и тело представляют собой золотое сечение, как и реальные человеческие лица в жизни. Кроме того, цифры в картине “Тайная вечеря” Леонардо Да Винчи расположены в порядке, который используется в золотом сечении. Если начертить золотые прямоугольники на холсте, Иисус окажется как раз в центральной доле.

Применение в дизайне логотипов

Неудивительно, что вы также можете найти использование золотого сечения во многих современных проектах, в частности, дизайне. Сейчас давайте сосредоточимся на том, как это может быть использовано в дизайне логотипа. Во-первых, рассмотрим некоторые из самых известных в мире брендов, которые использовали золотое сечение для совершенствования своих логотипов.

Видимо, Apple использовал круги из чисел Фибоначчи, соединив и обрезав формы для получения логотипа Apple. Неизвестно, было ли это сделано намеренно или нет. Тем не менее, в результате получился идеальный и визуально эстетичный дизайн логотипа.

Логотип Toyota использует соотношение a и b, формируя сетку, в которой образуются три кольца. Обратите внимание, как этот логотип использует прямоугольники вместо кругов для создания золотого сечения.

Логотип Pepsi создан двумя пересекающимися кругами, один больше другого. Как показано на рисунке выше, больший круг пропорционален в соотношении к меньшему - вы уже догадались! Их последний нерельефный логотип - простой, эффектный и красивый!

Кроме Toyota и Apple, логотипы некоторых других компаний, таких как, BP, iCloud, Twitter, и Grupo Boticario, как полагают, также использовали золотое сечение. И мы все знаем, насколько известны эти логотипы - все потому, что изображение сразу всплывает в памяти!

Вот как вы можете применить его в своих проектах

Создайте эскиз золотого прямоугольника, как показано выше желтым цветом. Этого можно достичь путем построения квадратов с высотой и шириной из чисел, принадлежащих золотому сечению. Начните с одного блока и поместите другой рядом с ним. А другой квадрат, чья площадь равна тем двум, поместите над ними. Вы автоматически получите сторону из 3 блоков. После построения этой конструкции из трех блоков, в конечном итоге у вас будет сторона из 5 четырехугольников, из которой можно сделать другую (площадью в 5 блоков) коробку. Это может продолжаться сколько угодно, пока вы не найдете тот размер, который вам нужен!

Прямоугольник может перемещаться в любом направлении. Выделите мелкие прямоугольники и используйте каждый из них, чтобы собрать макет, который будет служить в качестве сетки дизайна логотипа.

Если логотип более округлый, то вам потребуется круговая версия золотого прямоугольника. Вы можете добиться этого начертанием кругов, пропорциональных числам Фибоначчи. Создайте золотой прямоугольник, используя только круги (это означает, что самый большой круг будет иметь диаметр 8, а у круга поменьше будет диаметр 5, и так далее). Теперь разделите эти круги и разместите их так, чтобы вы могли сформировать основную схему для вашего логотипа. Вот пример логотипа Twitter:

Примечание: Вам не обязательно чертить все круги или прямоугольники золотого сечения. Вы также можете использовать один размер неоднократно.

Как применять его в дизайне текста

Это проще, чем проектирование логотипа. Простое правило для применения золотого сечения в тексте заключается в том, что последующий больший или меньший текст должен соответствовать Фи. Давайте разберем этот пример:

Если размер моего шрифта - 11, то подзаголовок должен быть написан в более крупном шрифте. Умножаю шрифт текста на число золотого сечения, чтобы получить большее число (11*1,6=17). Значит подзаголовок должен быть написан в 17 размере шрифта. А теперь заголовок или название. Умножу подзаголовок на пропорцию и получу 27 (1*1,6=27). Вот так! Ваш текст теперь пропорционален золотому сечению.

Как применить его в веб-дизайне

А здесь немного сложнее. Вы можете оставаться верными золотому сечению даже в веб-дизайне. Если вы опытный веб-дизайнер, вы уже догадались, где и как ее можно применить. Да, мы можем эффективно использовать золотое сечение и применить его к сеткам наших веб-страниц и макетам пользовательского интерфейса.

Возьмите общее число сетки пикселей за ширину или высоту и используйте его для построения золотого прямоугольника. Разделите наибольшую ширину или длину для получения меньших чисел. Это может быть шириной или высотой вашего основного контента. То, что осталось, может быть боковой панелью (или нижней панелью, если вы применили его к высоте). Теперь продолжайте использовать золотой прямоугольник для дальнейшего применения его к окнам, кнопкам, панелям, изображениям и тексту. Вы также можете построить полную сетку, основанную на маленьких версиях золотого прямоугольника расположенных как горизонтально, так и вертикально для создания более маленьких объектов интерфейса, которые пропорциональны золотому прямоугольнику. Для получения пропорций вы можете использовать этот калькулятор.

Спираль

Вы также можете использовать золотую спираль, чтобы определить, где разместить контент на вашем сайте. Если ваша домашняя страница загружается с графическим контентом, как, например, на веб-сайте онлайн магазина или блога фотографий, вы можете воспользоваться золотым методом спирали, который используют многие художники в своих работах. Задумка в том, чтобы поместить наиболее ценный контент в центре спирали.

Контент со сгруппированным материалом тоже может быть размещен при помощи золотого прямоугольника. Это означает, что чем ближе спираль движется к центральным квадратам (к одному квадратному блоку), тем “плотнее” там содержимое.

Вы можете использовать эту технику, чтобы обозначить расположение вашего заголовка, изображений, меню, панели инструментов, окна поиска и других элементов. Twitter славится не только использованием золотого прямоугольника в дизайн логотипа, но и задействовал его в веб-дизайне. Как? Благодаря использованию золотого прямоугольника, или, другими словами концепцией золотой спирали, в странице профиля пользователей.

Но нелегко будет проделать такое на платформах CMS, где автор материала определяет расположение вместо веб-дизайнера. Золотое сечение подходит WordPress и другим дизайнам блога. Это, вероятно, потому, что боковая панель почти всегда присутствует в дизайне блога, который хорошо вписывается в золотой прямоугольник.

Более простой способ

Очень часто дизайнеры опускают сложную математику и применяют так называемое “правило третей”. Его можно достичь путем деления площади на три равные части по горизонтали и вертикали. В результате - девять равных частей. Линия пересечения может быть использована в качестве фокусного центра формы и дизайна. Вы можете поместить ключевую тему или основные элементы на один или все фокусные центры. Фотографы также используют эту концепцию для плакатов.

Чем ближе прямоугольники к соотношению 1:1,6, тем приятнее воспринимается картина человеческим мозгом (так как это ближе к золотому сечению).

Золотое сечение - это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве – во всем, с чем может соприкоснуться человек. Однажды познакомившись с золотым правилом, человечество больше ему не изменяло.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая - ко всему целому. Приблизительная его величина – 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени.

Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом, отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.

ИСТОРИЯ

Представление о золотых пропорциях имели древние египтяне, знали о них и на Руси, но впервые научно золотое сечение объяснил монах Лука Пачоли в книге «Божественная пропорция» (1509), иллюстрации к которой предположительно сделал Леонардо да Винчи. Пачоли усматривал в золотом сечении божественное триединство: малый отрезок олицетворял Сына, большой – Отца, а целое – Святой дух.

Непосредственным образом с правилом золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. В результате решения одной из задач ученый вышел на последовательность чисел, известную сейчас как ряд Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. На отношение этой последовательности к золотой пропорции обратил внимание Кеплер: «Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности». Сейчас ряд Фибоначчи - это арифметическая основа для расчетов пропорций золотого сечения во всех его проявлениях.

Леонардо да Винчи также много времени посвятил изучению особенностей золотого сечения, скорее всего, именно ему принадлежит и сам термин. Его рисунки стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, доказывают, что каждый из полученных при сечении прямоугольников дает соотношения сторон в золотом делении.

Со временем правило золотого сечения превратилось в академическую рутину, и только философ Адольф Цейзинг в 1855 году вернул ему вторую жизнь. Он довел до абсолюта пропорции золотого сечения, сделав их универсальными для всех явлений окружающего мира. Впрочем, его «математическое эстетство» вызывало много критики.

ПРИРОДА

Даже не вдаваясь в расчеты, золотое сечение можно без труда обнаружить в природе. Так, под него попадают соотношение хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке, есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию провести через его наиболее широкую часть.

Белорусский ученый Эдуард Сороко, который изучал формы золотых делений в природе, отмечал, что все растущее и стремящееся занять свое место в пространстве, наделено пропорциями золотого сечения. По его мнению, одна из самых интересных форм это закручивание по спирали.

Еще Архимед, уделяя внимание спирали, вывел на основе ее формы уравнение, которое и сейчас применяется в технике. Позднее Гете отмечал тяготение природы к спиральным формам, называя спираль «кривой жизни». Современными учеными было установлено, что такие проявления спиральных форм в природе как раковина улитки, расположение семян подсолнечника, узоры паутины, движение урагана, строение ДНК и даже структура галактик заключают в себе ряд Фибоначчи.

ЧЕЛОВЕК

Модельеры и дизайнеры одежды все расчеты делают, исходя из пропорций золотого сечения. Человек – это универсальная форма для проверки законов золотого сечения. Конечно, от природы далеко не у всех людей пропорции идеальны, что создает определенные сложности с подбором одежды.

В дневнике Леонардо да Винчи есть рисунок вписанного в окружность обнаженного человека, находящегося в двух наложенных друг на друга позициях. Опираясь на исследования римского архитектора Витрувия, Леонардо подобным образом пытался установить пропорции человеческого тела. Позднее французский архитектор Ле Корбюзье, используя «Витрувианского человека» Леонардо, создал собственную шкалу «гармонических пропорций», повлиявшую на эстетику архитектуры XX века.

Адольф Цейзинг, исследуя пропорциональность человека, проделал колоссальную работу. Он измерил порядка двух тысяч человеческих тел, а также множество античных статуй и вывел, что золотое сечение выражает среднестатистический закон. В человеке ему подчинены практически все части тела, но главный показатель золотого сечения это деление тела точкой пупа.
В результате измерений исследователь установил, что пропорции мужского тела 13:8 ближе к золотому сечению, чем пропорции женского тела – 8:5.

ИСКУССТВО ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМ

Художник Василий Суриков говорил, «что в композиции есть непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика». Долгое время художники следовали этому закону интуитивно, но после Леонардо да Винчи процесс создания живописного полотна уже не обходится без решения геометрических задач. Например, Альбрехт Дюрер для определения точек золотого сечения использовал изобретенный им пропорциональный циркуль.

Искусствовед Ф.В.Ковалев, подробно исследовав картину Николая Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском», отмечает, что каждая деталь полотна, будь то камин, этажерка, кресло или сам поэт, строго вписаны в золотые пропорции.

Исследователи золотого сечения без устали изучают и замеряют шедевры архитектуры, утверждая, что они стали таковыми, потому что созданы по золотым канонам: в их списке Великие пирамиды Гизы, Собор Парижской Богоматери, Храм Василия Блаженного, Парфенон.

И сегодня в любом искусстве пространственных форм стараются следовать пропорциям золотого сечения, так как они, по мнению искусствоведов, облегчают восприятие произведения и формируют у зрителя эстетическое ощущение.

СЛОВО, ЗВУК И КИНОЛЕНТА

Формы временно?го искусства по-своему демонстрируют нам принцип золотого деления. Литературоведы, к примеру, обратили внимание, что наиболее популярное количество строк в стихотворениях позднего периода творчества Пушкина соответствует ряду Фибоначчи – 5, 8, 13, 21, 34.

Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так кульминационным моментом «Пиковой дамы» является драматическая сцена Германа и графини, заканчивающаяся смертью последней. В повести 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) – это и есть точка золотого сечения.

Советский музыковед Э.К.Розенов отмечает поразительную точность соотношений золотого сечения в строгих и свободных формах произведений Иоганна Себастьяна Баха, что соответствует вдумчивому, сосредоточенному, технически выверенному стилю мастера. Это справедливо и в отношении выдающихся творений других композиторов, где на точку золотого сечения обычно приходится наиболее яркое или неожиданное музыкальное решение.

Кинорежиссер Сергей Эйзенштейн сценарий своего фильма «Броненосец Потёмкин» сознательно согласовывал с правилом золотого сечения, разделив ленту на пять частей. В первых трех разделах действие разворачивается на корабле, а в последних двух – в Одессе. Переход на сцены в городе и есть золотая середина фильма.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определённом отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:

a : b = c : d .

Отрезок прямой AB можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – AB : AC = AB : BC ;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда AB : AC = AC : BC .

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:

a : b = b : c
или
c : b = b : a .

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. BC = 1/2 AB ; CD = BC

Из точки B восставляется перпендикуляр, равный половине AB . Полученная точка C соединяется линией с точкой A . На полученной линии откладывается отрезок BC , заканчивающийся точкой D . Отрезок AD переносится на прямую AB . Полученная при этом точка E делит отрезок AB в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если AB принять за единицу, BE = 0,382... Для практических целей часто используют приближённые значения 0,62 и 0,38. Если отрезок AB принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

x 2 – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и даёт другое отношение 44: 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлинённого горизонтального формата.

Рис. 3.

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок AB делится в пропорции золотого сечения. Из точки C восставляется перпендикуляр CD . Радиусом AB находится точка D , которая соединяется линией с точкой A . Прямой угол ACD делится пополам. Из точки C проводится линия до пересечения с линией AD . Точка E делит отрезок AD в отношении 56: 44.

Рис. 4.

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Золотой треугольник

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой .

Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и E – середина отрезка OA . Перпендикуляр к радиусу OA , восставленный в точке O , пересекается с окружностью в точке D . Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED . Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC . Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит её в пропорции золотого сечения.

Рис. 6. Построение золотого треугольника

Проводим прямую AB . От точки A откладываем на ней три раза отрезок O произвольной величины, через полученную точку P проводим перпендикуляр к линии AB , на перпендикуляре вправо и влево от точки P откладываем отрезки O . Полученные точки d и d 1 соединяем прямыми с точкой A . Отрезок dd 1 откладываем на линию Ad 1 , получая точку C . Она разделила линию Ad 1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad 1 и dd 1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный обиход Пифагор , древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор своё знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса , храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашёл, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Рис. 7. Динамические прямоугольники

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящён математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Рис. 8.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида . Во 2-й книге «Начал» даётся геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвящённым.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди учёных и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи , художник и учёный, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески , написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г. по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и её «божественную суть» как выражение Божественного Триединства – Бог Отец , Бог Сын и Бог Дух Святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение Бога Сына, больший отрезок – Бога Отца, а весь отрезок – Бога Духа Святого).

Электронные книги:

• Марио Ливио.

Каждый человек, сталкивающийся с геометрией объектов в пространстве, хорошо знаком с методом золотого сечения. Его применяют в искусстве, дизайне интерьеров и архитектуре. Еще в прошлом столетии золотое сечение оказалось таким популярным, что теперь многие сторонники мистического видения мира дали ему другое название - универсальное гармоническое правило. Особенности этого метода стоит рассмотреть подробнее. Это поможет узнать, почему он пользуется интересом сразу в нескольких сферах деятельности - искусстве, архитектуре, дизайне.

Суть универсальной пропорции

Принцип золотого сечения является всего лишь зависимостью чисел. Однако многие относятся к нему предвзято, приписывая этому явлению какие-то мистические силы. Причина кроется в необычных свойствах правила:

• Многие живые объекты обладают пропорциями туловища и конечностей, приближенными к показаниям золотого сечения.
• Зависимости 1,62 или 0,63 определяют отношения размеров лишь для живых существ. Объекты, относящиеся к неживой природе, очень редко соответствуют значению гармонического правила.
• Золотые пропорции строения туловища живых существ представляют собой неотъемлемое условие выживания многих биологических видов.

Золотое сечение можно найти в строении тел различных животных, стволов деревьев и корней кустарников. Сторонники универсальности этого принципа стараются доказать, что его значения жизненно важны для представителей живого мира.

Можно объяснить метод золотого сечения, используя образ куриного яйца. Отношение отрезков от точек скорлупы, в равной степени удаленных от центра тяжести, равно показателю золотого сечения. Самым важным для выживания птиц показателем яйца является именно его форма, а не прочность скорлупы.

Важно! Золотое сечение рассчитано на основе измерений множества живых объектов.

Происхождение золотого сечения

Об универсальном правиле было известно еще математикам Древней Греции. Ее использовал Пифагор и Евклид. В известном архитектурном шедевре - пирамиде Хеопса отношение размеров основной части и длины сторон, а также барельефов и декоративных деталей соответствуют гармоническому правилу.

Метод золотого сечения взяли на вооружение не только архитекторы, но и художники. Тайна гармонической пропорции считалась одной из величайших загадок.

Первым, документально заверившим универсальную геометрическую пропорцию, был монах-францисканец Лука Пачоли. Его способности к математике были блестящи. Широкое признание золотое сечение получило после публикации результатов исследований золотого сечения Цейзинга. Он изучал пропорции тела человека, древние памятники скульптуры, растения.

Как рассчитали золотое сечение

Разобраться, что такое золотое сечение, поможет объяснение, основанное на длинах отрезков. К примеру, внутри большого находится несколько маленьких. Тогда длины небольших отрезков относятся к общей длине большого отрезка, как 0,62. Такое определение помогает разобраться, на сколько частей можно поделить определенную линию, чтобы она соответствовала гармоническому правилу. Еще один плюс использования этого метода - можно узнать, каким должно быть отношение самого большого отрезка к длине всего объекта. Это соотношение равняется 1,62.

Такие данные можно представить, как пропорции измеряемых объектов. Сначала их выискивали, подбирая опытным путем. Однако теперь точные соотношения известны, поэтому построить объект в соответствии с ними не составит труда. Золотое сечение находят такими путями:

• Построить прямоугольный треугольник. Разбить одну из его сторон, а затем провести перпендикуляры с секущими дугами. При проведении вычислений следует от одного конца отрезка построить перпендикуляр, равный ½ его длины. Затем достраивают прямоугольный треугольник. Если отметить точку на гипотенузе, которая покажет длину перпендикулярного отрезка, то радиус, равняющийся оставшейся части линии, рассечет основание на две половины. Получившиеся линии будут соотноситься друг с другом согласно золотому сечению.
• Универсальные геометрические значения получают и другим способом - выстраивая пентаграмму Дюрера. Она является звездой, которая помещена в окружность. В ней находится 4 отрезка, длины которых соответствуют правилу золотого сечения.
• В архитектуре гармоническая пропорция применяется в модифицированном виде. Для этого прямоугольный треугольник следует разбивать по гипотенузе.

Важно! Если сравнивать с классическим понятием метода золотого сечения, версия для архитекторов имеет соотношение 44:56.

Если в традиционном толковании гармонического правила для графики, его рассчитывали как 37:63, то для архитектурных сооружений чаще использовали 44:56. Это обусловлено необходимостью сооружать высотные постройки.

Секрет золотого сечения

Если в случае с живыми объектами золотое сечение, проявляющееся в пропорциях тела людей и животных можно объяснить необходимостью приспосабливаться к среде, то в использование правила оптимальных пропорций в 12 веке для постройки домов было в новинку.

Парфенон, сохранившийся со времен Древней Греции, был возведен по методу золотого сечения. Множество замков вельмож средних веков создавали с параметрами, соответствующими гармоническому правилу.

Золотое сечение в архитектуре

Множество построек древности, которые сохранились до сих пор, служат подтверждением тому, что архитекторы из эпохи средневековья были знакомы с гармоническим правилом. Очень хорошо заметно стремление соблюсти гармоническую пропорцию при сооружении церквей, значимых общественных зданий, резиденций королевских особ.

К примеру, собор Парижской Богоматери возведен таким образом, что многие из его участков соотносится с правилом золотого сечения. Можно найти немало произведений архитектуры 18 века, которые были построены в согласии с этим правилом. Правило применяли и многие русские архитекторы. Среди них был и М. Казаков, который создавал проекты усадеб и жилых зданий. Он проектировал здание сената и Голицынскую больницу.

Естественно, дома с таким отношением частей возводили и до открытия правила золотого сечения. Например, к таким зданиям относится церковь Покрова на Нерли. Красота здания приобретает еще большую загадочность, если учесть, что здание покровской церкви было возведено в XVIII веке. Однако современный вид постройка приобрела после реставрации.

В трудах о золотом сечении упоминается, что в архитектуре восприятие объектов зависит от того, кто наблюдает. Пропорции, образованные при помощи золотого сечения, дают максимально спокойное соотношение частей строения относительно друг друга.

Ярким представителем из ряда строений, соответствующих универсальному правилу, является памятник архитектуры Парфенон, возведенный еще в пятом веке до н. э. Парфенон устроен с восьмью колоннами по меньшим фасадам и с семнадцатью - по большим. Храм возведен из благородного мрамора. Благодаря этому использование раскраски ограничено. Высота строения относится к его длине 0,618. Если разделить Парфенон по пропорциям золотого сечения, получатся определенные выступы фасада.

Все эти сооружения имеют одно сходство - гармоничность сочетания форм и отменное качество строительства. Это объясняется использованием гармонического правила.

Важность золотого сечения для человека

Архитектура древних построек и средневековых домов довольно интересна и для дизайнеров современности. Это объясняется такими причинами:

• Благодаря оригинальному оформлению домов можно не допустить надоевших штампов. Каждое такое здание является архитектурным шедевром.
• Массовое применение правила для украшения скульптур и статуй.
• Благодаря соблюдению гармонических пропорций взгляд притягивается к более важным деталям.

Важно! При создании проекта постройки и создании внешнего облика архитекторы средневековья применяли универсальные пропорции, опираясь на закономерности человеческого восприятия.

Сегодня психологи пришли к выводу, что принцип золотого сечения — не что иное, как человеческая реакция на определенное соотношение размеров и форм. В одном эксперименте группе испытуемых предложили согнуть бумажный лист таким образом, чтобы стороны получились с оптимальными пропорциями. В 85 результатах из 100 люди сгибали лист практически в точном соответствии с гармоническим правилом.

Как утверждают современные ученые, показатели золотого сечения относятся скорее к сфере психологии, нежели характеризуют закономерности физического мира. Это объясняет, почему к нему проявляется такой интерес со стороны мистификаторов. Однако при построении объектов согласно этому правилу человек воспринимает их более комфортно.

Использование золотого сечения в дизайне

Принципы использования универсальной пропорции все чаще используют при строительстве частных домов. Особое внимание уделяется соблюдению оптимальных пропорций конструкции. Немало внимания уделяют правильному распределению внимания внутри дома.

Современная интерпретация золотого сечения уже не относится лишь к правилам геометрии и формы. Сегодня принципу гармонических пропорций подчиняются не только размеры деталей фасада, площадь комнат или длины фронтонов, но и цветовая палитра, используемая при создании интерьера.

Соорудить гармоничное строение на модульном основании гораздо проще. Многие отделения и помещения в этом случае выполняются как отдельные блоки. Они проектируются в строгом соответствии с гармоническим правилом. Возвести здание как набор отдельных модулей, значительной проще, чем создавать единую коробку.

Многие фирмы, занимающиеся сооружением загородных домов, при создании проекта соблюдают гармоническое правило. Это позволяет создать у клиентов впечатление, что конструкция здания детально проработана. Такие дома обычно описывают, как наиболее гармоничные и комфортные в использовании. При оптимальном выборе площадей комнат жильцы психологически ощущают успокоение.

Если дом возведен без учета гармонических пропорций, можно создать планировку, которая будет по соотношению размеров стен приближена к показателю 1:1,61. Для этого в комнатах устанавливают дополнительные перегородки, или переставляют предметы мебели.

Аналогично меняют габариты дверей и окон таким образом, чтобы проем имел ширину, показатель которой меньше значения высоты в 1,61 раза.

Сложнее подбирать цветовые решения. В этом случае можно соблюдать упрощенное значение золотого сечения - 2/3. Основным цветовым фоном следует занять 60% пространства комнаты. Оттеняющий оттенок занимает 30% помещения. Оставшаяся площадь поверхностей закрашивается близкими друг к другу тонами, усиливающими восприятие выбранного цвета.

Внутренние стены комнат делят горизонтальной полосой. Ее располагают в 70 см от пола. Высота мебели должна находиться в гармоническом соотношении с высотой стен. Это правило относится и к распределению длин. К примеру, диван должен иметь габариты, которые бы оказались не меньше 2/3 длины простенка. Площадь помещения, которая занята предметами мебели, тоже должна иметь определенное значение. Она относится к общей площади всего помещения как 1:1,61.

Золотая пропорция сложно применима на практике ввиду наличия всего одного числа. Именно поэтому. Проектирую гармоничные строения, пользуются рядом чисел Фибоначчи. Благодаря этому обеспечивается разнообразие вариантов форм и пропорций деталей строения. Ряд чисел Фибоначчи также носит название золотого. Все значения строго соответствуют определенной математической зависимости.

Кроме ряда Фибоначчи, в современной архитектуре применяют и другой метод проектирования - принцип, заложенный французским архитектором Ле Корбюзье. При выборе этого способа отправной единицей измерения выступает рост владельца дома. Исходя из этого показателя рассчитывают размеры здания и внутренних помещений. Благодаря этому подходу дом получается не только гармоничным, но и приобретает индивидуальность.

Любой интерьер приобретет более завершенный вид, если в нем использовать карнизы. При использовании универсальных пропорций можно вычислить его размер. Оптимальными показателями являются 22,5, 14 и 8,5 см. Устанавливать карниз следует по правилам золотого сечения. Маленькая сторона декоративного элемента должна относиться к большей так, как относится к сложенным значениям двух сторон. Если большая сторона будет равна 14 см, то маленькую стоит сделать 8,5 см.

Придать помещению уюта можно путем деления стеновых поверхностей при помощи гипсовых зеркал. Если стена поделена бордюром, от оставшейся большей части стены следует отнять высоту карнизной планки. Для создания зеркала оптимальной длины от бордюра и карниза следует отступить одинаковое расстояние.

Заключение

Дома, построенные по принципу золотого сечения, действительно получаются очень удобными. Однако цена постройки таких строений довольно высока, поскольку стоимость стройматериалов ввиду нетипичных размеров увеличивается на 70%. Этот подход совершенно не нов, поскольку большинство домов прошлого века создавали исходя из параметров хозяев.

Благодаря использованию метода золотого сечения в строительстве и дизайне здания получаются не только комфортабельными, но и долговечными. Они выглядят гармонично и привлекательно. Интерьер тоже оформляют по универсальной пропорции. Это позволяет грамотно использовать пространство.

В таких комнатах человек ощущает себя максимально комфортно. Соорудить дом с использованием принципа золотого сечения можно самостоятельно. Главное - рассчитать нагрузки на элементы строения, и правильно выбрать материалы.

Метод золотого сечения используют в дизайне интерьера, размещая в комнате декоративные элементы определенных размеров. Это позволяет придать помещению уюта. Цветовые решения тоже выбирают в соответствии с универсальными гармоническими пропорциями.